摘要：这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形 D C M {\displaystyle DCM} 和 Q C M {\displaystyle QCM} 。利用勾股定理，较大的三角形斜边为 5 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle } 。小三角形其中一股h可由半角公式求得：。...这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形 D C M {\displaystyle DCM} 和 Q C M {\displaystyle QCM} 。利用勾股定理，较大的三角形斜边为 5 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle } 。小三角形其中一股h可由半角公式求得：。
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他引用孔子的话：「天道曰圆，地道曰方」。 此外，「天圆地方」在古时其实是测量天体距离的一种方法，並不是说天是圆的，地是方的。中国古人运用天圆地方和勾股定理，制造出符合中国人的历法。 印度古代哲学也可能有这种认识。在中国，公元一世纪东汉科学家张衡提出：「地如鸡子中黄。」这並不表明他认为大地是球形的，张。
ta yin yong kong zi de hua ： 「 tian dao yue yuan ， di dao yue fang 」 。 ci wai ， 「 tian yuan di fang 」 zai gu shi qi shi shi ce liang tian ti ju li de yi zhong fang fa ， 並 bu shi shuo tian shi yuan de ， di shi fang de 。 zhong guo gu ren yun yong tian yuan di fang he gou gu ding li ， zhi zao chu fu he zhong guo ren de li fa 。 yin du gu dai zhe xue ye ke neng you zhe zhong ren shi 。 zai zhong guo ， gong yuan yi shi ji dong han ke xue jia zhang heng ti chu ： 「 di ru ji zi zhong huang 。 」 zhe 並 bu biao ming ta ren wei da di shi qiu xing de ， zhang 。
在数学里的泛函分析中，贝塞尔不等式（英语：Bassel's inequality）是类似于勾股定理的一种不等式。贝塞尔不等式揭示了希尔伯特空间中的一个元素和它在一个正交序列上的投影之间的关系。举例来说，平面上的一个向量的长度的平方等于它在两个相互垂直的坐标轴上的投影的平方和，而对于一个三维空间上的向。
玛雅文明出现。 前265年 - 迦太基人的势力范围扩展至最大。 前27年 - 奥古斯都（原名盖·屋大维·图里努斯）建立罗马帝国。 铁的广泛使用。 哲学。 浮力定律的发现。 几何学的发展。 毕达哥拉斯证明了勾股定理。 埃拉托色尼证明了地球是圆的，并估计了它的半径。 腓尼基人发明字母。 数字0的发明。。
也就是直角三角形的勾股定理： ( A B ) 2 + ( B C ) 2 = ( A C ) 2 {\displaystyle (AB)^{2}+(BC)^{2}=(AC)^{2}} 也就是说，平面上的平行四边形恒等式可以看成是勾股定理的一种推广。。
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{1}{2}}(b+d)a,} 则 a = 2 A b + d {\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}} 它是有理数。我们还须证明b和d也是有理数。 利用勾股定理，可知 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,} 以及 a 2 + d。
triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 」之中， ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。。
(mathematician)）要早好几个世纪。 他给出了勾股定理的一个证明，该证明用两种不同方法计算相同面积然后消去一些项以给出 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 。 他也因证明任何数除以0是无穷大而无穷大除以任何数依然是无穷大而著称。。
字对《勾股圆方图》的注文，即《勾股圆方图说》，是数学史上具有价值的文献。 周朝的《周髀算经》内有勾股定理及《勾股圆方图》，但没有证明定理。而赵爽在《周髀算经注》中有《勾股圆方图说》，解释并证明了勾股定理。 《勾股圆方图说》的内容有： “勾股各自乘，併之，为弦实。开方除之，即弦。” 解:。
{r^{2}+h^{2}}}} ，其中 r {\displaystyle r} 是圆锥底部的半径， h {\displaystyle h} 是圆锥的高度。这可以由勾股定理证明。 正圆锥的侧面可以展开为平面上的一个扇形。这个扇形所在的圆半径就是圆锥的母线，对应的圆弧长为底部圆形的周长。设圆锥的母线为 l {\displaystyle。
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从1至2n-1之间的所有奇数之和为平方数n2的无字证明如右图所示。第一个正方形由一个方块组成，即1为首个平方数。之后增加3个白色方块以组成第二个正方形，总共有4个方块，即4为第二个平方数。之后再增加5个黑色方块组成下一个平方数9，并以此类推。 勾股定理可以由右边第二张图（出自《周髀算经》）进行证明。通过两种不同的方法计算大的正方形的面积可以得到。
2020年6月，有中国大陆网民发现人教版数学八年级下册的自读课本中论述爱因斯坦使用质能方程式 E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} 证明勾股定理的低级错误，引发网络热议。 2021年8月3日，人教版小学英语教材多次出现一名叫“Wu Yifan”的戴眼镜的小男孩，由于读音相似，不少人认为该。
} 后一个等式表明圆环面积等于内外半周长之和乘以宽度。 有趣的是，圆环的面积也等于 π 乘以完全位于圆环内部的最长线段的长度一半的平方，这可由勾股定理证明。位于圆环内最长的线段必定和内圆相切，该线段的一半和半径 r、R 能组成一个以 R 为斜边的直角三角形。 这个公式也可通过积分得到，将圆环分解成无穷个宽。
为了寻找优美的证明，数学家常会寻求不同证明的方法，而第一个被找到的证明可能不是最好的。被找到最多不同证明方法的定理是勾股定理，已经有上百种的证明方法被发表了出来。另一个被用许多不同方法证明出来的定理是二次互反律的定理，仅高斯一人就给出了此定理8种不同的证明方法。 香港大学数学系退休副教授丁南侨说：「数学其中一种精神就是简洁，可。
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{BC}^{2}=BD\cdot AB} 证明完毕。 在上面的 ΔABC 中，我们有： A B ⋅ C D = A C ⋅ B C {\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC} 考虑三角形的面积，即可容易地证明。 勾股定理，是欧几里得所著《几何原本》第一卷当中的第 47。
{n(n+1)(2n+1)}{6}}} 直观证明或可视化证明是指用图像或表格等直观的手段证明命题的方法。这类证明可以达到不借助语言而证明的效果。如右图是勾股定理的一个图示证明。 电脑协助证明是二十世纪出现的证明方式。直到二十世纪中，人们一直认为任何的数学证明都应当能够被一个水平足够的数学家检验，以证。
平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。 此定理又称毕氏定理、商高定理、毕达哥拉斯定理、新娘座椅定理或百牛定理。「毕氏」所指的是其中一个发现这个定理的古希腊。
证明勾股定理的几何证明法，其法富有东方智慧，特色鲜明、通俗易懂。 勾股定理（也称商高定理）是中国古代天文观测实践中立竿测影的重大发现，在中国古代数学、天文历法和工程运用极其广泛，影响深远。最早数学著作记述见于《周髀算经》中周公与商高的对话。对话中提及大禹治水时期，勾股定理。
|PQ|=|PA|+|AQ|} 或 | P Q | = ± ( | P A | − | A Q | ) {\displaystyle |PQ|=\pm (|PA|-|AQ|)} 。 塞瓦定理 梅涅劳斯定理 托勒密定理 海伦公式 九点圆 勾股定理 蝴蝶定理 几何学主题 非欧几里得几何 双曲几何 椭圆几何。
{\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 是 γ {\displaystyle \gamma } 角的邻边。 勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当 γ {\displaystyle \gamma } 为 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }}。
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