摘要：
由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。 此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为 ( a + b ) 2 {\displaystyle (a+b)^{2}} 。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为。...
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由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。 此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为 ( a + b ) 2 {\displaystyle (a+b)^{2}} 。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为。
有些简单的公式可以切割的方式得出。 例如平行四边形，可以切割成一个梯形和一个直角三角形，如同右图。如果三角形移到平行四边形的另一边，就可以变成一个长方形。因此，平行四边形的面积公式有点像长方形的： A = b h {\displaystyle A=bh} 至於同样的平行四边形可以分割为两个全等三角形。因此三角形的公式为： A。
you xie jian dan de gong shi ke yi qie ge de fang shi de chu 。 li ru ping xing si bian xing ， ke yi qie ge cheng yi ge ti xing he yi ge zhi jiao san jiao xing ， ru tong you tu 。 ru guo san jiao xing yi dao ping xing si bian xing de ling yi bian ， jiu ke yi bian cheng yi ge chang fang xing 。 yin ci ， ping xing si bian xing de mian ji gong shi you dian xiang chang fang xing de ： A = b h { \ d i s p l a y s t y l e A = b h } zhi yu tong yang de ping xing si bian xing ke yi fen ge wei liang ge quan deng san jiao xing 。 yin ci san jiao xing de gong shi wei ： A 。
y_{c})} 设三角形ABC的中线AD，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得 A G = G O . {\displaystyle AG=GO.\,} 那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。。
不同於欧几里得几何，双曲几何中三角形的內角和必小於π(180°)，故称其內角和与π的差为该三角形的角亏，则该三角形的面积等於该三角形的角亏乘以 R²，而 R = 1 − K {\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}} 。故所有三角形的面积均小於等於πR²，且等号成立若且唯若该三角形为理想三角形。。
勒洛三角形（英语：Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行。
三角不等式是数学上的一个不等式，表示从A到B再到C的距离永不少於从A到C的距离；亦可以说是两项独立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，还適用於其他数学范畴及日常生活中。 在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作 A B ¯ + B C ¯ ≥ A C ¯ {\displaystyle {\overline。
R^{3}}{3}}} 公式还可以用于计算平面形面积例如：平行四边形、梯形、三角形。。 平行四边形（正方形、矩形等） S = h ( a + 4 b + c ) 6 = a h {\displaystyle S={\frac {h(a+4b+c)}{6}}=ah} (平行四边形的面积等于底乘高) 梯形 S = h。
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{\displaystyle \angle ABC} 这样的顶点标号来表示。 锐角三角形的所有內角均为锐角。 钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小於90°。 有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角边」（cathetus），直角所对的边是「斜边」（hypo。
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根据三角不等式，三角形的其中两边的和必定大於第三边，此不等式对於边长有限的双曲三角形仍成立。平面三角形若两边的和等於第三边將会退化成內角为0度的退化三角形，然而双曲三角形允许內角为0的不退化三角形，这种三角形又称为理想三角形。 双曲三角形和一般的三角形一样，由3个边和3个顶点组成。构成双曲三角形的3个点不落在相同的双曲直线上。同时，这3条边为连接这三个点的双曲线段。。
theorem）描述为连接任意三角形三边形成三个平行四边形区域之间的关係。该定理也可以被认为是毕氏定理的推广，以发现者希腊数学家帕普斯命名。 给定任意三角形，其两个任意平行四边形连接到其任意两侧，该定理描述在第三侧产生平行四边形，使得第三个平行四边形的面积等於其他两个平行四边形的面积之和。 设 Δ A。
中位线是一个数学术语，指平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行。
杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系数的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10。
三角形，且其对称性取决於其底三角形，每个截面皆与其底相似。又例如四角锥，其对称性关於四边形，因此四角锥的底为四边形。底不一定会是多面体中的某一个面，例如双五角锥，其底为五边形，但其不存在五边形的面；以及三面形，其底为三角形，但其不存在三角形的面。 底这个术语通常適用於三角形、平行。
当两个三角形相似时，我们利用下面的符号来表示： △ A B C ∼ △ D E F {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle DEF} 利用上面的符号表示时，必须保持对应角的正確顺序，不可隨意排列。 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。。
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三角形的斯坦纳点在其外接圆上，与塔里点之连线为外接圆的直径。 斯坦纳点的西姆松线与原三角形的外心和陪位重心的连线平行 斯坦纳点的西姆松线与塔里点的西姆松线垂直 对於一三角形ABC，其斯坦纳点为分別通过三个顶点，和其布罗卡尔三角形（英语：Brocard triangle）A'B'C'三边平行之三条线所交会的一点。。
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在几何学中，三角柱是一种柱体，底面为三角形。正三角柱是半正多面体、均匀多面体的一种。 三角柱是一种五面体，且有一组平行面，即两个面互相平行，而其他三个表面的法线在同一平面上（不一定是平行的面）。 这三个面可以是平行四边形。所有平行於底面的横截面都是相同的三角形。。
在数学中，平行四边形恒等式是描述平行四边形的几何特性的一个恒等式。它等价於三角形的中线定理。在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的两条对角线长度的平方和，等於它四边长度的平方和。假设这个平行四边形是写作 A B。
专案管理三角形（Project Management Triangle）也称为专案三角形是在项目管理上有关限制的模型。最早提出者不明，最晚在1950年代起就开始使用。专案管理三角形是在以下內容中取舍： 专案工作的品质会受到专案预算、时程及专案范围（特征）所限制。 项目经理可以在各限制条件之间取舍。。
很多人尝试用前四条公设证明平行公设都不成功，反而创造了违反平行公设的双曲几何。最后由意大利数学家贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）证明了平行公设独立於前四条公设。 很多命题看似与平行线无关，实则与平行公设等价。有些性质看似很明显，因而被一些声称证明了平行公设的人不经意用到了。这里是一些命题： 三角形內角和为两直角。。
数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于点线面公设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom），敘述比较复杂，这个公设衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay。
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