摘要：
微积分基本定理（英语：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：给定任一连续函数，可以（利用积分）构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在於它保证了连续函数的反导函数的存在性。。...
微积分基本定理（英语：Fundamental theorem of calculus）描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。 定理的第一部分，称为微积分第一基本定理，此定理表明：给定任一连续函数，可以（利用积分）构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在於它保证了连续函数的反导函数的存在性。。
初等函数（基本函数）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数的全体对。
chu deng han shu （ ji ben han shu ） shi you chang han shu 、 mi han shu 、 zhi shu han shu 、 dui shu han shu 、 san jiao han shu he fan san jiao han shu deng jing guo you xian ci de you li yun suan （ jia 、 jian 、 cheng 、 chu 、 cheng fang 、 kai fang ） ji you xian ci han shu fu he suo chan sheng 、 bing qie zai ding yi yu shang neng yong yi ge fang cheng shi biao shi de han shu 。 yi ban lai shuo ， fen duan han shu bu shi chu deng han shu ， yin wei zai zhe xie fen duan han shu de ding yi yu shang bu neng yong yi ge jie xi shi biao shi 。 chu deng han shu de quan ti dui 。
S型函数（英语：sigmoid function，或称乙状函数）是一种函数，因其函数图像形状像字母S得名。其形状曲线至少有2个焦点，也叫“二焦点曲线函数”。S型函数是有界、可微的实函数，在实数范围内均有取值，且导数恒为非负，有且只有一个拐点。S型函数和S型曲线指的是同一事物。 逻辑斯谛函数是一种常见的S型函数，其公式如下：。
其中erf函数为误差函数，Si函数为三角积分，Li函数为对数积分。 关于什么时候反导函数可以用初等函数表达，可参见刘维尔定理。 求初等函数的不定积分比求它们的导数要困难得多。如上面所看到的，有些初等函数的反导函数无法用初等函数来表达。以下是求不定积分的一些技巧。 积分的线性性质使得我们可以把较为复杂的函数分成几个较为简单的函数的和来计算。
零次函数（常数函数）：零次多项式，图像为水平线。 一次函数：一次多项式，图像为斜直线。 二次函数：二次多项式，图像为抛物线。 三次函数 四次函数 五次函数 六次函数 有理函数：两个多项式函数的比。 开方 平方根 立方根 非代数函数即为超越函数。 指数函数 双曲函数：形式上相似于三角函数。 对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。。
对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。因为微分方程的对称性在数学和物理中的重要性，特殊函数理论也与李群和李代数密切相关。 事实上，对于哪些函数属于特殊函数，并没有明确的规定。函数列表中列出了一些通常被认为的特殊函数。广义上，基本超越函数（即指数函数、对数函数。
函数的和、积及复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域 U {\displaystyle U} 内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数。
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的函数。直观来说，如果 z 是 y 的函数，y 是 x 的函数，那么 z 是 x 的函数。得到的复合函数记作 g ∘ f : X → Z，定义为对 X 中的所有 x，(g ∘ f )(x) = g(f(x))。 直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。 函数。
常用的数学函数包括多项式函数、根式函数、冪函数、对数函数、有理函数、三角函数、反三角函数等。它们都是初等函数。非初等函数（或特殊函数）包括伽马函数和贝塞尔函数等。 函数可分为 奇函数或偶函数 连续函数或不连续函数 实函数或虚函数 纯量函数或向量函数 单调增函数或单调减函数 在范畴论中，函数的槪念被推广为態射的槪念。。
这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差。这一方法可以应用于所有恒不为0的可微函数。 对于某函数 y =。
f(z)} 是超越函数，如果该函数是关於变量 z {\displaystyle z} 是代数独立的。 对数和指数函数即为超越函数的例子，超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数，例如正弦、余弦、正割、余割、正切 、余切等。 非超越函数称为代数函数，代数函数的例子有多项式和平方根函数。 对代数函数。
在数理逻辑和计算机科学中，递归函数或μ-递归函数是一类从自然数到自然数的函数。直觉上递归函数是"可计算的"。事实上在可计算性理论中已经证明了它确实是图灵机的可计算函数。递归函数与原始递归函数相关，而且递归函数的归纳定义（见下）建立在原始递归函数之上。但不是所有递归函数都是原始递归函数——其中最著名的是阿克曼函数。。
函数”直接表示某些物理量输入输出的特性，（例如二端口网络中的输出电压作为输入电压的一个函数）而不使用变换到S平面上的结果。 传递函数通常用于分析诸如单输入、单输出的滤波器系统中，主要用在信号处理、通信理论、控制理论。这个术语经常专门用于如本文所述的线性时不变系统（LTI）。实际系统基本。
在纯与非纯函数式编程之间的确切区别是有争议的事情。 当一个程序使用了某些函数式编程概念的时候， 比如头等函数和高阶函数，它通常就被称为是函数式的。但是，头等函数不必然是纯函数式的，由于它可以使用来自指令式范型的技术，比如数组或输入/输出方法，故而它们不是纯函数程序。事实上，最早被引证为函数。
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直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于 y {\displaystyle y} 的解 R ( x , y ) = x − f ( y ) = 0. {\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,} 例子 对数函数 ln x {\displaystyle。
对数著作《比例对数表》（又名《历学会通》），对数自此传入中国。此书称真数为“原数”，对数为“比例数”。而《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表。”中国因此普遍称之为“对数”。 对数对科学的进步有所贡献，特别是对。
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{(-1)^{n}}{n!}}.} 许多程式语言或试算表软体有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意实数的伽玛函数的值。 例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0。
函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。 特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。 具有尺度参数 θ {\displaystyle \theta } 和形状参数k的伽玛分布的特征函数为：。
指数函数是解析的。这个函数的泰勒级数在整个复平面上收敛。 三角函数、对数函数、幂函数在相应的定义域上都是解析的。 多数特殊函数（至少在复平面上的某些区域） 超几何函数 贝塞尔函数 伽马函数 典型的非解析函数有： 绝对值函数非解析函数，因为它在点0处不可微。分段定义的函数在分段处通常不是解析的。 复共軛函数 z ↦。
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对数求和不等式（Log sum inequality）是一个不等式 ，可用于证明信息论中的多个定理。 对任何非负实数 a 1 , 。 , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} 和正数 b 1 , 。 , b n {\displaystyle b_{1},\ldots。
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